原标题:《测不准原理为什么不确定。又由傅立叶完成了

海森伯

经常听人说，是因为观测者通过光子和电子的相互作用影响了光子的动量，导致了海森堡的测不准原理。

观察者必须通过影响电子的动量来观察电子，这可能是真的，但这不是测不准原理的真正原因！

在讨论这个话题之前，我们先定义一下海森堡的测不准原理。

在量子力学中，有一系列关于共轭物理量的不等式，限制了同时测量这些成对物理量的精度这些不等式中的任何一个都可以称为测不准原理

—维基百科

一个常见的表述是，在任何给定的时间点，你都无法同时精确测量粒子的动量和位置。

这种不确定性不取决于设备的质量，也不是因为测量误差难以消除。无论我们做得多好，也无法同时精确测量这两个量…

首先，有很多不确定的原理，很多都可以在宏观世界中看到即使你没有意识到它们的存在，你也一直在处理这些现象

其次，海森堡的测不准原理与数学密切相关。

所有的波和物质都必须服从一系列的测不准原理，这些测不准原理实际上是从一个数学事实推导出来的。

音乐，雷达技术，能源技术，光也有必须遵守的测不准原理我们很快就会看到，是数学决定了这一切

这一切都可以归结为非常简单的事情再复杂的信号或函数，其实都是正弦波的叠加正弦波是一种具有特定波长和振幅的波

叠加只是指所有的波相互作用，所有波的和是更复杂信号的叠加。

也就是说，我们可以将一个函数分解成组成它的更简单的部分这几乎是我们在计算傅里叶级数的傅里叶系数时要做的全部工作值得一提的是，这种方法也适用于非周期函数

这种效应在音乐中是众所周知的，比如吉他生活中的泛音会干扰主波也就是说，吉他的声音是由不同频率和振幅的正弦波组成的

当我们描述这样一个复杂的信号时，我们有两种等价的方法可以选择也就是说，我们可以选择两种不同的单位来描述它

我们可以选择时间来描述所有产生干涉图样的波是如何同时相互作用的，也可以选择构成干涉图样的正弦波的频率来描述。

可以用两种等价方式描述的事件称为对偶关系。

如果能找到一个数学工具来描述时间信号和频率信号的双重关系，那当然更好事实上，我们确实找到了这样一个工具

傅里叶变换

我上面提到的描述这种对偶关系的工具叫做傅立叶变换毫无疑问，它是数学中最强大和最常用的工具之一

在给出它的一些特征之前，我们先来谈谈这种傅里叶变换的一些一般性质:

傅立叶变换是一种积分变换，它采用一个函数并返回另一个函数。

作为函数空间中的算子，我们可以把它看作纯数学的对象，但是我们可以给它一个很好的物理解释我们都可以在物理和数学领域使用它

今天主要从物理学的角度来考虑。

在下面的讨论中，我们假设积分总是收敛的。

是一个可积函数。f的傅立叶变换由以下积分给出:

它也可以看作是频率的函数。

。

理解信号总是可以用两种等价的方式来表达是非常重要的只要其中一个给定，另一个唯一确定，我们就有一个公式来计算它们如何选择，只取决于我们想如何表达一个信号

的唯一逆傅立叶变换通过以下公式获得:

傅立叶变换的性质

傅里叶变换不是一两节课能讲清楚的只能在这篇文章里说说了

。通过变量的变换，我们得到:

时移会使频率函数产生相移可变缩放的影响是什么

我们就从alt开始，0 agt0供讨论

其中使用了替换u=at。让我们看看什么时候alt当0:

我们进一步得到表达式:

它的物理意义是什么。

傅里叶变换的标度特性意味着，如果我们在时间上压缩信号，就相当于在频率空间上扩展信号，反之亦然。

我们很快就会发现这个结果极其重要。

通过维度进行分析，可以为我们提供更高层次，更有启发性的视角时间以秒为单位，频率以1/s为单位，似乎时间展宽越大，频率展宽越小，反之亦然

如果你不知道频率的单位从何而来，我可以理解你的疑惑傅立叶变换中的s最终决定了构成信号的正弦波的周期你可以用欧拉公式把复指数展开成正弦和余弦，或者把傅里叶变换看成一组连续的傅里叶系数来感受这一点

傅立叶变换有很多很酷的特性，但是由于这不仅仅是一篇关于变换本身的文章，所以我们不会过多地介绍这些特性感兴趣的读者可以自己探索一下

读者可能会发现一个让计算变得容易的特性，就是傅里叶变换把导数转化为乘以一个常数，这是一个有趣而实用的特性这意味着一个空间中的微分方程对应于另一个空间中的代数方程

所以有些微分方程可以通过变换方程用代数方法求解，然后把解反变换得到原方程的解。

波函数和海森堡测不准原理

量子物理学家通过可能的量子态来描述量子系统。

描述量子态的函数族称为波函数，以位置坐标为变量的波函数的模平方给出了粒子在空间的概率分布。

所以我们可以把波函数解释为概率波，它表示一个粒子位于给定空间区域的概率因此，描述粒子位置的波函数应该被看作是空间中的波，而不是时间中的波

当我们对这个位置波进行傅里叶变换时，可以得到一个频率波，它是以粒子动量为自变量的波函数。

仔细想想也不奇怪，因为如果你认为光是波包或者物质波，那么动量就会由光的频率给出。

来表现这种关系其中γ是波长，H是普朗克常数，P是动量，F是频率，E是能量

我们限制粒子的间隔越小，位置波函数就越局域化因为动量波函数是位置波函数的傅里叶变换，动量波函数会被水平拉伸，这意味着动量会有更大的不确定性这是前面提到的傅立叶变换的缩放特性造成的

其实这就是海森堡的测不准原理！这里只有傅立叶变换起作用:

是普朗克常数，δ x和δ p分别是位置和动量的不确定度。

普遍的不确定性

是共轭变量或共轭对事实上，对于任何共轭函数对，都有一个测不准原理

海森堡测不准原理只是共轭变量的一个特例。

从数学的角度来看，共轭变量的测不准原理为什么成立原因是:短信信号，比如声音脉冲，需要多个不同频率的正弦波叠加，只有多个特定频率的正弦波叠加才能保证波的振幅在一定范围外接近于0相反，信号越像正弦波，描述它的频率就越低

当你听到一个很短的声音时，你很难确定这个声音包含哪些频率，但是如果你听到一个持续时间很长的纯信号，你就能分辨出不同的频率这也是测不准原理

同样，我们对雷达探测到的目标的距离了解得越多，对接近或后退速度的了解就越少，反之亦然这就是多普勒和距离的不确定性

还有很多其他的共轭变量，都遵循自己的测不准原理他们有一个共同点，就是他们的成立是有数学保证的！波动数学只是限制了我们能从某个量子态获得多少信息

海森堡测不准原理的影响是真实的。

如果你把激光对准狭缝，光幕会挡住一部分光对于穿透过去的部分，接下来会发生神奇的事情

光线似乎在狭缝后面的屏幕上扩散如果你把狭缝变窄，光线就会传播得更宽这似乎与我们的直觉不符我们限制了它的空间分布，但它却展开了

这种现象是由海森堡的测不准原理造成的伴随着狭缝越来越窄，位置波变得越来越局域化根据测不准原理，动量的波函数变得越来越宽，使得向越来越多的方向运动成为可能

动量是一个方向矢量，意味着光子在狭缝的另一侧传播时，扩散角变得越来越大，从而在屏幕上产生美丽的衍射图样。

不确定性也可以解释太阳为什么会发光，甚至可以解释为什么霍金辐射的时空现象会让黑洞收缩。

我想明确一点:不确定性是一种纯粹的数学现象，但是因为量子系统让这些数学理论照进了现实，所以不确定性也可以看作是一种物理原理。

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